四个格点之间的双线性灰度插值：四角灰度与十一个位置·练习18

在小地图或纹理的四个已知格点之间取值，可以先沿一轴混合，再沿另一轴混合。写出四个角的权重，可以看清中间值来自哪里，也能检查边界是否落回正确的一条边。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

四角按左下、右下、左上、右上排列。横纵坐标都在零到一内，先对下边和上边按横坐标插值，再按纵坐标混合两条边的结果。数值是虚构线性灰度，不做编码转换或最后取整。

左下、右下、左上、右上灰度[88, 91, 35, 49] 查询坐标[['0', '0'], ['1', '1'], ['0', '1/2'], ['1/2', '0'], ['5/8', '1/2'], ['1/2', '5/8'], ['0', '1/8'], ['0', '1/8'], ['7/8', '0'], ['1/4', '1/8'], ['1/8', '3/8']]

逐步计算与结果

坐标(0,0)：下边混合88，上边混合35，再按纵坐标得到88。此点的四角权重为['1', '0', '0', '0']。

坐标(1,1)：下边混合91，上边混合49，再按纵坐标得到49。此点的四角权重为['0', '0', '0', '1']。

坐标(0,1/2)：下边混合88，上边混合35，再按纵坐标得到123/2。此点的四角权重为['1/2', '0', '1/2', '0']。

坐标(1/2,0)：下边混合179/2，上边混合42，再按纵坐标得到179/2。此点的四角权重为['1/2', '1/2', '0', '0']。

坐标(5/8,1/2)：下边混合719/8，上边混合175/4，再按纵坐标得到1069/16。此点的四角权重为['3/16', '5/16', '3/16', '5/16']。

坐标(1/2,5/8)：下边混合179/2，上边混合42，再按纵坐标得到957/16。此点的四角权重为['3/16', '3/16', '5/16', '5/16']。

坐标(0,1/8)：下边混合88，上边混合35，再按纵坐标得到651/8。此点的四角权重为['7/8', '0', '1/8', '0']。

坐标(0,1/8)：下边混合88，上边混合35，再按纵坐标得到651/8。此点的四角权重为['7/8', '0', '1/8', '0']。

坐标(7/8,0)：下边混合725/8，上边混合189/4，再按纵坐标得到725/8。此点的四角权重为['1/8', '7/8', '0', '0']。

坐标(1/4,1/8)：下边混合355/4，上边混合77/2，再按纵坐标得到2639/32。此点的四角权重为['21/32', '7/32', '3/32', '1/32']。

坐标(1/8,3/8)：下边混合707/8，上边混合147/4，再按纵坐标得到4417/64。此点的四角权重为['35/64', '5/64', '21/64', '3/64']。

边界、角点和内部点均使用同一混合规则，完整记录可复查任一中间值。

怎样独立复核

独立使用四角权重：(一减横坐标)乘(一减纵坐标)、横坐标乘(一减纵坐标)、(一减横坐标)乘纵坐标、横坐标乘纵坐标。四个权重非负且和为一，结果应在角点最小值与最大值之间。

插值并没有找回图像中从未记录的细节。本例只讨论一个方格内的数值混合，方格外延伸、边缘重复、透明度和颜色空间都需要单独约定。交换两轴的计算先后，在本例精确计算条件下应得到相同结果。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。